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吴文俊:数学教育弄不好,会引起许多灾难(下)
点击:  作者:吴文俊    来源:数学经纬网头条号  发布时间:2021-01-19 09:36:33

 

 1 吴文俊

 

我想有许多数学,现在兴旺一时,大家都还认为可以,但若要从历史长河来看,它究竟能够经历多久,就不好说了。以后的事情我没有预测,可是像位值制这种是经得起历史考验的,虽然它的重要意义不容易认识。没有进位制,没有位值制,计算机也造不出来,这个是严格的进位制而且是位值制。

 

我们再说中学,中学学的内容,首先是代数、关于代数的一些运算,然后是方程,主要是线性方程,还有排列组合、行列式等等,当然还有几何、三角。这个几何,我想是中学里最值得考虑的一个内容,中学的几何,过去欧几里得几何占了很大的内容,占了很长时间,主要学习欧几里德几何,然后还讲解析几何。我说,凡是学过欧几里得几何的人,大概都有这种体会,就是你要证明定理,就像解四则难题一样,是非常难的。你怎么添线,怎么转弯抹角,怎么经过严密的所谓逻辑推理,(这也像作四则难题,要用严密的逻辑推理),怎么用巧妙的思维等等,而且证明定理还可以训练脑筋(这也像作四则难题,也是训练脑筋),这是很难的,非常难的。可是,我们从机械化的角度来看,四则运算这一部分完全是机械的;四则难题要靠巧妙的奇招怪招才能做,就不是机械化的,可四则难题一变成代数就机械化了。到中学里边,做运算还有解线性方程这都是机械化的。

 

我说,在小学范围主要是中国的传统,是东方的数学,从内容上来讲,小学里边基本上是机械化的,就是四则难题是非机械化的。我刚才说过,四则难题这个东西应该即使不是完全取消,也只能保留一个很小的部分,这都是我个人的看法。在中学范围,也是很大一部分机械化,也是中国的传统,也是东方的数学,不是西方的数学。解线性方程,出现在中国两千年前的著作里,是地道的著作,是东方数学,是完全机械化的。在整个中学范围里,最不机械化的就是欧几里得几何这一部分。那么对欧几里得几何应该怎么看,我说明一下我的看法。我有点倾向于讲恩格斯的数量关系,数学研究数量关系与空间形式,简单讲,就是讲形与数。欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,纯粹在空间形式里去推理,或者是把数量关系归之于空间形式,或者干脆就排除掉数量关系,纯粹在空间形式间经过公理定理来进行逻辑推理,这是欧几里得体系。

 

另外一个体系刚好与之相反,是把空间形式化成数量关系来考虑的,那么这种考虑方式就是中国的传统,或者是像17世纪解析几何的作法,把空间形式变成数量关系,通过这些数量关系来计算等等,得出关于空间形式的种种结论。欧几里得体系是非机械化的,把空间形式化成数量关系是机械化的。至于机械化,我说首先应该是中国,你要翻开世界各国的许多数学史的书来,就会一口咬定中国是没有几何的——几何就是欧几里得几何。你要看看中国真正的数学史的话,就完全不是那么回事,它的几何内容不是欧几里得那样的几何内容。可是它是几何啊!而且它还有一个特点,就是把空间形式变成数量关系来处理,这个发明大概出现在公元前10世纪左右。

 

 

2 未知数x

 

我国古代在10世纪、11世纪,引进了这种概念,叫做天元,后来又发展到地元等等。要从现代的符号讲,这就相当于引进了xy等等,用xy,用天元、地元来表示某一个几何的事实、几何的事物,那么几何事物之间的一些相互关系,就表示成天元、地元之间的一种方程或是xy等等之间的一种方程,这个发明的重要意义几乎可以跟位值制相提并论。

 

位值制的发明使得一切计算都变成轻而易举了,也使得现代的计算机的机械化的制作有所依据。而天元、地元的引进,使得几何的代数化成为可能。从此以后,几何的研究就可以通过数量关系的研究来进行,我们现在老是盯住这个欧几里得几何死也不肯放,欧几里得怎么怎么了不起。我想欧几里得除了在中学这个角落占了这个阵地以外,到了大学就没有多少阵地了,我们一讲微分几何不是一来就是公式嘛,一来就是方程嘛,微分几何中所有的曲线曲面都要用方程来表达。光从曲线曲面的本身来考虑,当然可以根据许多奇招怪招做出许多漂亮东西来,可是我说你不能跑得远,更不能腾飞,就像对于四则难题一样,你对这方面也必须用代数来代替;同样对于几何,对于研究空间形式,你要真正腾飞,不通过数量关系,我想不出有什么好办法。

 

当然欧几里得几何漂亮的定理有的是,漂亮的证明也有的是。可是就算你陷在里面,你也跑不了多远。可以做出漂亮的东西来,可是我说要真正的腾飞呀,你不走这条路,我想不出你会有什么好办法。

 

在中国的传统数学中有许多这种几何的例子,怎么样把一个几何的问题通过代数化变成方程,解方程是中国的传统数学的一个传统课题。可以用这个解方程的方法来处理,这是中国的几何的处理的招,这跟欧几里得的处理方法截然相反。我不是完全否定欧几里得几何体系的处理方法,我们现在一讲古希腊的几何学,往往提到三大人物,欧几里得、阿基米德还有阿波罗尼。这个阿波罗尼最伟大的数学著作是什么呢?七卷的《圆锥曲线论》,就是用欧几里得的体系来考虑圆锥曲线,写了七大本。我想现在是不是还有人研究圆锥曲线要用这个方法呢?那还不是把圆锥曲线方程一写,然后再用数量关系来处理。我想不见得还有人会用欧几里得几何的处理办法来处理,你要用这种办法来考虑圆锥曲线,需用七大本书才能做出证明,别的曲线就更难了。所以这条道路,欧几里得的这条道路,本身是很有问题的。

 

 

3 欧几里得几何

 

那欧几里得几何在中学里怎么会占据了这么大的一个领域呢?在整个中学范围内,它占据的地盘是相当大的。本来是东方数学的世界,中小学是东方数学的世界,可就是那个欧几里得几何,它占领了一个相当大的地盘。这里边有种种的原因,这个原因牵涉到许多数学史问题,我有许多不是很清楚,我想将来会弄清楚,它怎么会侵占这么大的地盘的。我说这个并不是要把欧几里得几何完全一笔勾销,这个我也不赞成,它是有许多值得考虑的地方,值得吸收的地方。不过用什么样的方式,应该吸收哪种东西、排除哪些东西,再吸收另外一些什么东西,这就需要从长计议了。我现在鼓吹的不一定就是对的了——现代化就是机械化,能够把这两者等同起来。这个等同是有问题的,你可以有不同的理解,完全不同的理解。

 

我说如果是要机械化的话,大学现在还谈不上。中小学本来应该是机械化的,不要把四则难题占的分量太多,完全不占也是不对的,这个可能都认识到了。可是对于欧几里得几何我看离开认识还很远。我并不是说完全不要,可是应该及早地,就像小学赶快离开四则难题引进代数一样,中学也是赶快离开欧几里得。用什么方式,引进到什么程度,这个从长计议,可基本上应该及早地引进解析几何。主要是没有解析几何,你微积分就没有了,大学数学课程教起来就困难了。几何就困难,微分几何怎么教啊?微分几何要是没有这个数量关系,没有一个空间曲线由三个方程来表示,曲面也由方程来表示,没有这一套你怎么弄!如果没有这一套,微分几何这个课程就教不起来,其他课程就更不用说了。既然认识到这个武器是有利的,作为数学教育,应该及早地把这种武器传授给下一代,我想教育的目的应该是这样。当然应该慎重行事。有的要取消,应该慎重考虑,是不是取消部分,或是不应该取消;添加进来的,是不是应该添加一部分,或者不应该添加?这都得慎重地考虑。我想,总的一个,当然非常简单明了,就是这样,四则难题让位于代数,欧氏几何让位于解析几何。这就是我的基本主张,至于怎么样具体处理,那是另外一回事。

 

比如说,欧几里得几何要讲证明定理,那我现在就来讲,怎样用解析几何来证明定理。过去在中学里也念解析几何,可是对证明定理有的书上仅仅稍微说几句,就没有了。之所以如此主要是解析几何把几何关系变成数量关系,这个数量关系不好处理,算起来麻烦。那个时候还没有计算机,现在有了计算机你也得有一套办法,你若没有办法取而代之,你就不能随随便便把那一个完全砍掉。

 

 

4 吴文俊

 

下面我想讲一讲,怎样在中学范围里,通过解析几何,取代某一部分,至少某一部分欧几里得几何定理的证明。

 

……我刚才说过斯托罗克提出了东方数学的称谓。我在许多数学史的书上面都没有看到这种话,而在斯托罗克的书上看到了。他的书有许多问题,让人非常反感,可是这段话却非常精彩。他指出来,中小学里边的这个东方数学的味道,跟大学里边完全不一样,这就是机械化跟非机械化的区别。可是在中小学范围里边,即所谓东方数学的里边混进了一部分非东方数学的东西,我说这个局面也可改变。

 

我今天讲的这个东西是我多少年一直想讲的。在好些年前,至少是1983年或者更早,我就想在中学里边推行,可就是不敢。因为中学里边是不能随便进的,而且当时条件不具备,你要用计算机,可在中学里边根本不可能。我想,现在中学里边计算机是越来越普及了,而且计算机的发展非常神速,一个小型的PC机体积虽然很小,但比较高级的软件都可以放进去,高级语言也可以使用,所以客观条件已经具备。几何应该走这一条路——东方的道路,而不是走那一条非机械化的路。可是现在的中学不是那么回事,而且,有的人可能用种种形式还在推行,事实上还是在推行非机械化的东西,这是我非常不赞成的,本来在中小学,我是尽量避免卷进去的,可是我看到这种情况。一方面是正是时候,现在如果不做的话,将来也还是要做……,我说正是时候,也就是正是在中小学范围里边,真正推行东方色彩的时候。

 

 

5 中学课堂

 

说到几何学,我还要说一句非常极端的话,我认为,中国的传统几何学才是真正的几何学,而绝不是欧几里得几何是真正的几何学,这是我的个人观点,是不能作为定论的。我们这个讨论班本来不是讨论这个问题,我这里只是插进来谈一下我个人的一些想法。

 

另一方面,至于具体怎么实行,大家是否考虑一下是不是自己具备这个条件,首先是对中学要有比较多的接触的,你真正在中学里边和教师、同学一起干的,而不是这样讲一次报告,说说就算数的。我说干就是要真干,真刀真枪地干,不是光说说而已,那要花很大的时间,而且这不是一个很简单的问题。我希望有的同志如果乐意、愿意,并且觉得可以做,值得做的话,我希望有同志能够推行这个事情。

 

注:本文转自公众号“和乐数学”

责任编辑:向太阳
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