陈省身演讲：什么是几何学？

 

导读：1999年求是奖颁奖会在复旦大学举办，求是科技基金会执委、顾问陈省身先生作了专题演讲"什么是几何学”。陈省身先生（1911年10月28日-2004年12月3日）是20世纪世界最重要的微分几何学家之一、也是最有影响力的数学家之一，曾长期担任加州大学伯克利分校、芝加哥大学数学教授。在即将迎来陈省身先生诞辰110周年纪念之际，《赛先生》今日分享这一高水平、有深度的演讲，以飨读者。本文源自求是科技基金会官网。

 

 

陈省身教授（左）与周光召教授（右）在介绍会中谈笑甚欢，图源：求是科技基金会官网。

演讲 ｜ 陈省身

 

今天授奖的仪式很隆重，听了许多人的演讲，我非常感动。有机会在此演讲，自己觉得非常之荣幸，也非常之高兴。我想从现在起，我们就像平常上课一样，不怎么严肃，随便一点。我带了一些材料，非常遗憾的是没法投影。不投影也可以，我没有什么准备。

 

大家希望我讲一点几何学，题目是《什么是几何学》。我虽然搞了几十年的几何工作，但是很抱歉的一点是，当你们听完演讲后，不会得到很简单的答案，因为这是一门广泛而伟大的学问。在最近几千年来，几何学有非常重要的发展，跟许多其它的科学不但有关系、有作用，而且是基本的因素。

 

讲到几何学，我们第一个想到的是欧几里德。除了基督教的《圣经》之外，欧几里德的《几何原本》在世界出版物中大概是销售最多的一本书了。这本书在中国有翻译，译者是徐光启与利玛窦。徐光启（1562~1633）是中国了不得的学问家，利玛窦（M.Ricci）是到中国来的意大利传教士。他们只翻译了六章，中文本是在1607年出版的。

 

我们现在通用的许多名词，例如并行线、三角形、圆周等这类名词，我想都是徐光启翻译的。当时没有把全书翻译完，差不多只翻译了半本，另外还有半本是李善兰和伟烈亚力翻译的。伟烈亚力（A.Wylie）是英国传教士。很高兴的是，李善兰是浙江海宁人。海宁是嘉兴府的一县，我是嘉兴人，所以我们是同乡（掌声）。对了，查济民先生也是海宁人（掌声）。

 

 

左起，查济民董事长、周光召教授与杨振宁教授于介绍会中，图源：求是科技基金会官网。

 

推动几何学第二个重要的、历史性发展的人是Descarte（1596~1650），中国人翻译称为笛卡儿。他是法国哲学家，不是专门研究数学的。他用坐标的方法，把几何变成了代数。当时没有分析或者无穷的观念。所以他就变成代数。我想笛卡儿当时不见得觉得他这贡献是很伟大的，所以他的几何论文是他的哲学引里面最后的一个附录，附属于他的哲学的。

 

这个思想当然在几何上是革命性的，因为当把几何的现象用坐标表示出来时，就变成了代数现象。所以你要证明说一条直线是不是经过一个点，你只要证明某个数是不是等于零就行了。这样就变成了一个简单一点的代数问题。当然并不是任何的几何问题都要变成代数问题，有时候变为代数问题后原来的问题更加复杂了。但这个关系是基本性的。

 

笛卡儿发现的坐标系，我们大概在中学念解析几何都学到。有一点是这样的（我的图可惜现在没法投影出来），给定一条直线，直线上有一个原点，其它的点由它的距离x来确定，然后经过x沿一定的方向画一条直线，那么y坐标就是在那条线从x轴上这个点所经的距离，这就是笛卡儿的坐标，英文叫Cartesian，坐标。它的两条线不一定垂直。不知道哪位先生写教科书时把两条线写成垂直了，因此x坐标与y坐标对称了。笛卡儿的两个坐标不是对称的，这是他非常重要的观念，我们现在就叫纤维丛。

 

这些跟y坐标平行的直线都是纤维，是另外的一个空间。原因是这样的：你把它这样改了之后，那条直线就不一定要直线，可以是任何另外一个空间了。这样可以确定空间里点用另外一组坐标来表示。所以有时候科学或数学不一定完全进步了，有时候反而退步了（笑声）。笛卡儿用了这个坐标，就发现，我们不一定要用Cartesian坐标，可以用其它坐标，比如极坐标。

 

平面上确定一个点，称为原点，过这点画一条射线，称为原轴。这样平面上的点，一个坐标是这点与原点的距离，另外一个是角度，是这点与原点的连线与原轴的相交的角度，这就是极坐标。因此极坐标的两个坐标，一个是正数或零，另外一个是从零到360度的角度。

 

当然我们都知道，还可以有许多其它的坐标，只要用数就可以确定坐标。因此，后来大家弄多了的话，就对几何作出了另外一个革命性的贡献，就是说，坐标不一定要有意义。只要每级数能定义一个点，我们就把它叫坐标。从而几何性质就变成坐标的一个代数性质，或者说分析的性质。这样就把几何数量化了，几何就变成形式化的东西了。

 

这个影响非常之大，当然这个影响也不大容易被接受，比如爱因斯坦。爱因斯坦发现他的相对论，特殊相对论是在1908年，而广义相对论是在1915年，前后差了7年。爱因斯坦说，为什么需要7年我才能从特殊相对论过渡到广义相对论呢？他说因为我觉得坐标都应该有几何或物理意义。爱因斯坦是一个对学问非常严谨的人，他觉得没有意义的坐标不大容易被接受，所以耽误了他很多年，他才不能不接受，就是因为空间的概念被推广了。

 

我忘掉了一段。我现在是讲书，讲书忘掉了补充一下是无所谓的，讲错了也不要紧（笑声）。同样我回头再讲一点欧几里德。那时的欧几里德的《几何原本》并不仅仅是几何，而是整个数学。因为那时候的数学还没有发现微积分，无穷的观念虽然已经有了，不过不怎么普遍。

 

我再说一点，就很可惜的是欧几里德的身世我们知道得很少，只知道他大概生活在纪元前三百年左右。他是亚历山大学校的几何教授，他的《几何原本》大概是当时的一个课本。亚历山大大学是希腊文化最后集中的一个地方。因为亚历山大自己到过亚历山大，因此就建立了当时北非的大城，靠在地中海。但是他远在到亚洲之后，我们知道他很快就死了。

 

之后，他的大将托勒密（PtolemySoter）管理当时的埃及区域。托勒密很重视学问，就成立了一个大学。这个大学就在他的王宫旁边，是当时全世界伟大的大学，设备非常好，有许多书。很可惜由于宗教的原因，由于众多的原因，现在这个学校被完全毁掉了。当时的基督教就不喜欢这个学校，已经开始被毁了，然后回教人占领了北非之后，就大规模地破坏，把图书馆的书都拿出来烧掉。所以现在这个学校完全不存在了。

 

几何是很重要的，因为大家觉得几何就是数学。比方说，现在还有这一印象，法国的科学院，它的数学组叫做几何组。对于法国来讲，搞数学的不称数学家，而叫几何学家，这都是受当时几何的影响。当时的几何比现在的几何的范围来得广。不过从另一方面讲现在的范围更广了，就是我刚才讲到的坐标不一定有意义。一个空间可以有好几种坐标，那么怎样描述空间呢？这就显得很困难啦，因为空间到底有什么样的几何性质，这也是一个大问题。

 

高斯与黎曼建立和发展了这方面的理论。高斯是德国人，我想他是近代数学最伟大的一个数学家。黎曼实际上是他的继承人，也是德国教学家。他们都是哥廷根大学的教授。可惜的是黎曼活着时身体不好，有肺结核病，四十岁就死了。他们的发展有一个主要目的，就是要发展一个空间，它的坐标是局部的。空间里只有坐标，反正你不能讲坐标是什么，只知道坐标代表一个点，所以只是一小块里的点可以用坐标表示。因此虽然点的性质可以用解析关系来表示，但是如何研究空间这就成了大问题。

 

在这个之前，我刚才又忘了一个，就是基础的数学是欧几里德的书，但是欧几里德的书出了一个毛病。因为欧几里德用公理经过逻辑的手段得到结论。例如说，三角形三角之和一定等于180度，这是了不得的结果。欧几里德可以用公理几步就把它证明了，是一个结论。这个比现代的科学简单得多了。

 

我们刚才听了很多话，科学家做科学研究，第一样就是跟政府要钱，跟社会要钱，说你给了我钱，我才能做实验。当然实验是科学的基础。但是这样一来就会有许多的社会问题和政治问题。

 

欧几里德说，你给我一张纸，我只要写几下，就证明了这个结果。不但如此，我是搞数学的，我说数学理论还有优点，数学的理论可以预测实验的结果。不用实验，用数学可以得到结论，然后用实验去证明。当然实验有时的证明不对，也许你的理论就不对了，那当然也有这个毛病。

 

欧几里德的公理是非常明显的，但是他有一个有名的公理叫第五公设出了问题。这个第五公设讲起来比较长，但是简单地说，就是有一条直线与线外一点，经过这点只有一条直线与这条已给的直线平行。这个你要随便画图的话，觉得相当可信。可是你要严格追问的话，这个公理不大明显，至少不如其它公理这样明显。所以这个第五公设对当时数学界喜欢思想的人是个大问题。

 

当时最理想的情形是：第五公设可以用其它的公理推得，变成一个所谓的定理。那就简单化了，并且可做这个实验。我们搞数学的人有一个简单的方法，就是我要证明这个公理，我先假定这个公理不对，看是不是可以得到矛盾。如果得到矛盾，就证明它是对的了。这就是所谓间接证明法。有人就想用这个方法证明第五公设，但是都失败了。

 

我们现在知道这个第五公设并不一定对，经过一点的并行线可以有无数条，这就是非欧几何的发现。非欧几何的发现，它的社会意义很大，因为它表示空间不一定只有一个。西洋的社会相信上帝只有一个，怎么会有两个空间，或者很多个空间呢？当时这是个很严重的社会问题。

 

不止是社会问题，同时也是哲学问题。像德国大哲学家康德，他就觉得只能有欧氏几何，不能有非欧几何。所以当时这是一个很大的争论。非欧几何的发现一个是J.Bolyai，匈牙利人，在1832年；一个是Lobachevski，俄国人，在1847年。

 

不过我刚才讲到大数学家高斯，我们从他的种种著作中知道他完全清楚，但他没有把它发表成一个结论，因为发表这样一个结论，是可以遭到别人反对的。因此就有这么一个争论。等到意大利的几何学家Beltrami，他在欧几里德的三维空间里造了一个曲面，曲面上的几何就是非欧几何，这对于消除大家的怀疑是很有利的工具。

 

因为上述结果是说，假定有一个三维的欧几里德空间，就可以造出一个非欧几何的空间来，所以在欧几里德的几何中亦有非欧几何。你假定欧几里德几何，你就得接受非欧几何，因此大家对非欧几何的怀疑有种种的方法慢慢给予解除。

 

我刚才讲到高斯与黎曼把坐标一般化，使坐标不一定有意义，这对几何学产生的问题可大了。因为空间就变成一块一块拼起来的东西。那想怎么去研究它呢？怎么知道空间有不同的性质呢？甚至怎么区别不同的空间？

 

我这里有几个图，画了几个不同的空间，可惜我没法把它投影出来。不过，总而言之空间的个数是无穷的，有很多很多不同的空间。现在对于研究几何的人就产生一个基本问题，你怎样去研究它。这样一个基本的学问现在就叫Topology，拓朴学。

 

它是研究整个空间的性质，如什么叫空间的连续性，怎样的两个空间在某个意义上是相同的，等等。这样就发展了许多许多的工具。这个问题也讨论了。黎曼生活在1826~1866年。德国的教学制度在博士毕业之后，为了有资格在大学教书，一定要做一个公开演讲，这个公开的演讲就是所谓的Habilitationschrift。黎曼在1854年到哥廷根大学去做教授，做了一个演讲，这个在几何上是非常基本的文献，就讨论了这些问题。

 

如何研究这种空间呢？要研究这种空间，如果你只知道空间是随便一块块拼起来的话，就没有什么可以研究的了。于是你往往需要一个度量，至少你知道什么叫两点之间的距离，你怎么去处理它呢？就需要解析的工具。往往你把距离表为一个积分，用积分代表距离。

 

黎曼的这篇1854年的论文，是非常重要的，也是几何里的一个基本文献，相当一个国家的宪法似的。爱因斯坦不知道这篇论文，花了七年的时间想方设法也要发展同样的观念，所以爱因斯坦浪费了许多时间。黎曼这篇论文引进的距离这个观念，是一个积分，在数学界一百多年来有了很大的发展。

 

第一个重要的发展是黎曼几何应用到广义相对论，是相对论的一个基本的数学基础。现在大家要念数学，尤其要念几何学的话，黎曼几何是一个最主要的部分，这个也是从黎曼的演讲开始的。现在黎曼几何的结果多得不得了，不但是几何的基础，可能也是整个数学发展的基础。

 

 

1999年求是“杰出青年学者奖“得奖人于介绍会会场外合照，图源：求是科技基金会官网。

 

我刚才提到一百多年来的发展。所谓的黎曼几何实际上是黎曼的论文的一个简单的情形，是某个情形。黎曼原来的意思，广义下的意思，有个人做了重要的工作，是一个德国人Finsler。所以这部分的几何就叫Finsler几何。他在1918年在哥廷根大学写了一篇博士论文，就讲这个几何。这个几何后来发展不大多，因为大家不知道怎么办。如果这个度量的积分广了一点，对应的数学就变复杂了，不像黎曼的某个情形这样简单。

 

黎曼这情形也不简单。黎曼普通地就写了一个ds的平方等于一个两次微分式，这个两次微分式积分一下就代表弧的长度。怎样研究这样的几何，这是需要一个像黎曼这种天才才有这个办法。黎曼就发展了他所谓的Riemanncurvaturetensor，黎曼曲率张量。你若要搞这类几何的话，就要有张量的观念。而空间的弯曲性，这个弯曲性解析表示出来也比较复杂了，就是黎曼的曲率张量。

 

我们现在大家喜欢讲得奖。我们今天发奖，有奖金，要社会与政府对你的工作尊重。当年的时候你要搞数学的话，如果没有数学教授的位置，就没有人付你工资。一个主要的办法就是得奖金。有几个科学院它给奖金，得了奖金后你当然可以维持一段时间，因此就很高兴。不过很有意思的是我想Riemann-Christofell曲率张量是一个很伟大的发现，黎曼就到法兰西科学院申请奖金。科学院的人看不懂，就没有给他。

 

所以诸位，今天坐在前排几位你们都是得奖人，都是得到光荣的人，我们对于你们寄予很大的期望，后面几排的大多数人没有得过奖，不过我安慰大家，没得过奖不要紧，没得过奖也可以做工作。我想我在得到学位之前，也没有得过奖。得不得到奖不是一个很重要的因素，黎曼就没有得到奖。他的Riemann-Christofell张量在法兰西的科学院申请奖没有得到。

 

最近虽然在黎曼几何上有很多发展，非常了不得的发展，但是大家对于一般的情形，黎曼论文的一般情形、Finsler几何，没有做很多贡献。很巧的是我在1942年曾写了一篇Finsler几何的论文，就是找能把黎曼几何的结果做到Finsler几何的情形。

 

最近有两位年轻的中国人，一个叫鲍大维，一个叫沈忠民，我们合写了一本关于Finsler几何的书。这本书就要在Springer-Verlag出版，属于它的GraduateTexts数学丛书。编辑对于我们的书也很喜欢，给了我们一个很有意思的书号：200。书就在这里，我想这本书等会我会交给谷超豪教授，就把它放在复旦大学的某个图书馆里（掌声）。

 

 

数学学科介绍人谷超豪教授于介绍会讲话，图源：求是科技基金会官网。

 

我们这本书有一个小小的成就，就是把近一百年来最近在黎曼几何上的发现，我们把它推广到一般的情形，即黎曼-Finsler情形。这是黎曼当年的目的。黎曼当然非常伟大，不过他对于一般的情形不是很重视，他甚至在他的文章里讲这里没有新的东西，我们就把他说的没有新的东西做了一些出来。

 

我知道我旁边坐了两位伟大的物理学家。接下去我想班门弄斧一下，谈一下物理与几何的关系。我觉得物理学里有很多重要的工作，是物理学家要证明说物理就是几何。

 

比方说，你从牛顿的第二运动定律开始。牛顿的第二定律说，F＝ma，F是力，m是质量，a是加速度，加速度我们现在叫曲率。所以右边这一项是几何量，而力得当然是物理量。所以牛顿费了半天劲，他只是说物理就是几何（大笑，掌声）。不但如此，爱因斯坦的广义相对论也是这样。爱因斯坦的广义相对论的方程说：

 

Rik - 1/2 gik R=8πKTik

 

Rik是Ricci曲率，R是scalarcurvature，即标量曲面，K是常数，Tik是energy stress tensor，即能量-应力张量。你仔细想想，他的左边是几何量，是从黎曼度量得出来的一些曲率。所以爱因斯坦的重要方程式也就是说，几何量等于物理量（掌声）。

 

不止是这些，我们可以一直讲下去。我们现在研究的空间叫流形，是一块块空间拼起来的。这个流形不好研究。流形上的度量，你如果要把它能够用方程写下来的话，你一定要把流形线性化，一定要有一个所谓的向量空间，叫vector space。

 

向量空间有一个好处，它的向量可以相加，可以相减，它还有种种不同的乘法。所以你就可以用解析的方法处理几何的情形。那么一般的流形怎么处理呢？数学家的办法很简单，就是在流形的每一点弄一个切平面。每一点都有个向量空间，叫切空间，跟它相切。

 

欧几里德空间只有一个切空间。现在的空间情况复杂了一些，每点都有一个切空间，但都是平坦空间。这个现象在几何上有一个重大的发展，就是把切空间竖起来。反正是一把向量空间，给流形的每点一个向量空间，不一定要是流形的切面或切空间。我们就叫它为纤维丛，或叫向量丛，向量空间丛。这个我想比爱因斯坦的（相对论）还要重要。Maxwell方程就是建立在一个向量丛上。

 

你不是要一把向量空间吗？最好的是一把筷子，这里一维最好是复一维，complex。这把筷子每个都是复空间，它是骗人的一维，其实是二维，是复数空间。复数就有玩意儿了。现在是一把复数，你如果能有法子从这个纤维到另外一个纤维，有一个我们所谓的平行性的话，你就立刻得到Maxwell方程。

 

现代文明都靠电，控制电的方程的是Maxwell方程。现在纤维丛上有一个平行性，这个平行性的微分，等于电磁场的强度F，然后你把这个F再求它的另外一种微分（余微分）的话，就得到currentvectorJ，即流向量。用下面两个简单的式子，就把Maxwell方程写出来了，dA=F, δF=J。

 

普通你要念电磁学的书的话，当然需要了解电磁的意义。我不了解。但是要了解电磁学的意义，把方程全部写出来的话，书上往往是一整页，种种的微分呀什么的讲了一大堆。其实简单地说，也就是平行性的微分是场的强度，而场的强度经过某个运算就得到它的流向量。这就是Maxwell方程，与原来的完全一样。所以Maxwell方程就是建立在一维的纤维丛上，不过是一个复一维的纤维丛。

 

你怎样把每个纤维维拼起来呢？我们需要群的概念。有一个群，群里有一个运算，把一个纤维可以挪到其它一个纤维。纤维如果是一维的，即使是复一维的话，我们需要的群仍旧是可交换的群，叫做Abel group，杨振宁先生了不得。他可以用到一个非Abel群，也很简单，我们叫做SU（2）群。用SU（2）connection，把同样的方程式写出来，就是Yang-Mills方程，DA=F，δF=J。

 

这有不得了的重要性。我们搞几何学的人觉得有这样的关系，物理学家说你这个关系跟物理有关系，这是非常困难的，并且有基本的重要性。比方说像去年获诺贝尔奖的，我想大家都知道崔琦的名字，做理论方面的所谓Hall效应，也用到我们这些工作。

 

我们说我们专搞曲率。你要开一个车，路如果弯得多了的话你就要慢下来，直的话你就冲，这就是曲率。曲率要是在高维就比较复杂了，不过也是一些代数，并且可以做得很巧妙。我的一个朋友，也是学生，叫Simons。我们所做的工作就是曲率，就对崔琦跟他们一群得诺贝尔奖的有好处。所以一般讲来，在房子里我们只管扫地，想把房子弄弄干净，弄弄清楚，然后有伟大的物理学家来说你们这个还有道理（大笑，掌声），这个我们也很高兴。

 

现在几何不仅应用到物理，也应用到生物学中。讲到DNA的构造，是一个双螺线，双螺线有很多几何，许多几何学都在研究这个问题。现在许多主要的大学，念生物的人一定要念几何。现在有很多人研究大一点的compound，这是分子，是由原子配起来的。原子怎么个配法就是几何了。这些几何的观念不再是空虚的，有实际上的化学的意义。

    

数学比其它科学有利的地方，是它基本上还是个人的工作。即使在僻远的地方，进步也是可能的。当然他需要几个朋友，得切磋之益。谢谢大家。（极其热烈的掌声）

 

注：本文转载自求是科技基金会官网。

 

来源：赛先生微信号